丘.10.6正交空间与辛空间

引言

1. 任一域上的线性空间 上的内积应当是一个对称或斜对称双线性函数
2. 如果上指定一个对称双线性函数作为内积,那么称为正交空间
3. 如果上指定一个斜对称双线性函数作为内积,那么称为辛空间(symplectic space)

一、洛伦兹(Lorentz)变换与闵柯夫斯基(Minkowski)空间

1. 如果一个坐标系是静止不动的或者做匀速直线运动,那么这个坐标系称为惯性系,否则称为非惯性系。
2. 一个点对于时间有一个坐标,对于在空间中的位置有三个坐标,称这个点的时-空坐标。
3. 伽利略(Galileo)时-空变换。
4. 如果牛顿力学规律对其中一个惯性系成立,那么对另一个惯性系也成立。这称为牛顿力学规律对伽利略时-空变换的协变性,也称为力学的相对性原理。不同的惯性系对于力学问题是完全等价的
5. 洛伦兹变换
6. 狭义相对性原理:所有的基本物理规律都应在任一惯性系中具有相同的形式
7. 类比实内积空间中,两个向量与的距离定义为,于是是距离的平方。由此受到启发,把称为与的时-空间隔的平方。
8. 取 上的一个二元函数:,其中是光速,显然是一个非退化的双线性函数,把它作为上的一个内积,此时称是一个闵柯夫斯基空间。
9. 洛伦兹变换。不保持欧几里得空间上的内积。但是洛伦兹变换却保持闵柯夫斯基空间上的内积

二、正交空间

1. 定义1域上的线性空间如果指定了一个对称双线性函数,那么称是上的一个内积(或度量),称是一个正交空间。用表示指定的内积为的正交空间,如果是非退化的,那么称为正则的,否则称为非正则的。
2. 定义2在正交空间中,如果,那么称与正交,记作
3. 定义3在正交空间中有一个非零向量,如果,则将该非零向量称为迷向的(isotropic);否则称为非迷向的(anisotropic)。如果包含了一个(非零的) 迷向向量,则正交空间称为迷向的否则称为非迷向的。如果中所有非零向量都是迷向的,那么称是全迷向的
4. 定义4设是正交空间的一个非空子集,集合称为的正交补,记作,
5. 定理1设是域F上有限维正则的正交空间,是的一个子空间,则
6. 定义5域上有限维正交空间的一个基,如果两两正交,那么称为正交基。 注意:正交基的定义中,首先要求是基,然后要求基向量两两正交。这是因为在正交空间中两两正交的向量可能是线性相关的
7. 定理2特征不为2的域上的维正交空间一定存在正交基
8. 定义6域上维正交空间的一个正交基如果或 则称该基为标准正交基(或正交规范基)
9. 定理3设是特征不为2的域上的正交空间,如果是的有限维正则子空间,则.
10. 定义7设和是正交空间的两个子空间,如果对任意,任意及,都有,那么称与是正交的
11. 定义8设和是域上的两个正交空间,如果存在线性空间到的一个同构映射,且保持内积不变,那么称是正交空间到的一个同构映射,称正交空间和是同构的(或保距同构的(isometric))。
12. 定理4设和是特征不等于2的域上的两个维正交空间,则到的线性同构是保距同构当且仅当域上的元二次型与等价(与合同),其中是在的一个基下的度量矩阵,是在的一个基下的度量矩阵

三、正交空间上的正交变换

1. 定义9设是域上维正则的正交空间,上的一个线性变换如果保持内积不变,即那么称T是上的一个正交变换。
2. 定理7设是域上维正则的正交空间,则是上的正交变换当且仅当是正交空间到自身的同构映射。
3. 定理8设是特征不为2的域上的维正则的正交空间,是对应的二次函数,则上的线性变换是正交变换当且仅当下式成立:
4. 定理9设是特征不为2的域上的维正则的正交空间,在的一个基下的度量矩阵为,上的一个线性变换在基下的矩阵是,则是正交变换当且仅当。
5. 推论2条件同定理9,正交变换在的任意一个基下的矩阵的行列式等于1 或一1。
6. 行列式为1的正交变换称为第一类的(或旋转),行列式为一1的正交变换称为第二类的(本节第一部分中讲的闵柯夫斯基空间上的洛伦兹变换是第一类正交变换
7. 一般地,在实线性空间中,给定一个非退化的对称双线性函数,如果的正惯性指数为3(或1),那么称正交空间为一个闵柯夫斯基空间,其上的第一类正交变换称为广义洛伦兹变换。

四、辛空间

1. 定义10域上的线性空间如果指定了一个斜对称双线性函数,那么称是 上的一个内积(或辛内积)。称V是一个辛空间,记作。如果是非退化的,那么称为正则的;否则称为非正则的.
2. 定理10辛基:
3. 推论3域F上有限维正则的辛空间一定是偶数维的
4. 定理14域F上两个有限维辛空间同构的充分必要条件是有相同的维数,且有相同的矩阵秩。

五、辛变换

1. 定义11设是域F上有限维正则的辛空间,上的一个线性变换如果保持辛内积不变,那么称为辛变换
2. 定理15设是域上有限维正则的辛空间,则是上的辛变换当且仅当是辛空间到自身的一个同构映射
3. 定理16设是维正则辛空间,则上的线性变换是辛变换当且仅当 , 其中是在的辛基下的矩阵,称为辛矩阵,形如
4. 定理17辛矩阵的行列式等于1

六、小结

1. 维欧几里得空间 上的变换,如果保持内积不变,那么称是上的一个正交变换。维欧几里得空间上的线性变换在的一个标准正交基下的矩阵为,上的内积在此标准正交基下的度量矩阵为,则 是上的正交变换 是正交矩阵
2. 维酉空间 上的变换,如果保持内积不变,那么称是上的一个酉变换。维酉空间上的线性变换在的一个标准正交基下的矩阵为,上的内积在此标准正交基下的度量矩阵为,则 是上的酉变换 是酉矩阵
3. 域上维正则的正交空间上的一个线性变换,如果保持内积不变,那么称是上的一个正交变换。
   1. 特征不为2的域上的维正则的正交空间上的线性变换在的一个基下的矩阵为,在此基下的度量矩阵为,则是上的正交变换
   2. 特征不为2的域上维正则的辛空间上的线性变换在的辛基下的矩阵为,在此辛基下的度量矩阵,则是上的辛变换